Ответ:
Это именно тот случай когда надо видеть Ваш паркет.
Вариантов у Вас несколько, это укладка фанеры непосредственно на паркет и укладка фанеры на лаги.
Лаги опустят потолок сантиметров на 10-ь, придётся и двери переустанавливать, это возможно?
Если нет, то лучший из вариантов это снять паркет полностью, тем более зачем он там под фанерой.
Пробейте полы уровнем, если перепад большой, паркет снимаем и это без вариантов.
Что бы зафиксировать фанеру на паркете, используются два способ фиксации, это клей, к примеру из серии «жидкие гвозди», «Момент» не плохой вариант
(есть и иные варианты) и саморезы, в Вашем случае можно ещё подстраховаться и ударными дюбелями,
что бы прошить и фанеру и паркет зацепившись за основу.
Лак с паркета придётся убрать, полы выровнять в ноль, загрунтовать и обезжирить.
Фанера распускается (лист) на четыре части, укладываем по типу кирпичной кладки (в разбежку).
Зазор между лисами 2-3-и мм, между стеной и фанерой 10-ь мм.
Затем стыки шпаклюются, фанера шлифуется и так далее.
Помните, мы первопроходцы, фанеру на паркет не кладут, отталкиваясь от выше написанного ищите лучший вариант, фанера не должна «люфтить».
Шаг между саморезами 200-и 300-а мм.
Головки втапливайте в фанеру.
Для начала, перед тем как стелить фанеру, еще раз проверьте, насколько качественно у вас закреплен паркет. Не ленитесь, простучите каждую досточку и если есть пустота, снимите и заново посадите на клей. То, что паркетная доска может местами отходить не столь важно, вреда не причинит, но если ее не закрепить, то можно обеспечить себя скрипом пола, а это неприятно.
Далее я бы посоветовал проложить подложку между паркетом и фанерой, а саму фанеру не клеить или прибивать гвоздями, а закрепить на саморезы. Не забывайте, что от стены надо отступить на сантиметр. Зазор можно заполнить герметикам и закрыть плинтусом.